Sitede “21″ isimli filmin tanıtımını ve yorumunu okuyunca filmdeki bir sahnede geçen olasılık probleminin ilgi çekici olduğunu ve bunu araştırırken daha da ilginç bilgilerle karşılaştığımı hatırladım. Aklımda kaldığı kadarıyla bu son derece ilginç olan problemle sizlerinde de kafasını karıştırmak istiyorum. :)

Önce filmdeki sahneyi hatırlayalım: Ders anlatan Prof. (Kevin Spacey) öğrencilere bir soru yöneltiyor. Zeki öğrencimiz ve filmin esas oğlanı (Jim Sturgess) anında cevabı yapıştırıyor ve hocasının gözüne giriyor. Film bu sahnenin üzerine kuruluyor vs.

Bütün bunlar en fazla bir iki dakika içinde gerçekleşiyor ve siz daha soruyu tam olarak anlayamadan cevap veriliyor ve cevabın hiç de beklediğiniz gibi olmayışı kafanızı karıştırıyor. Soruyu tam olarak anlayabilmek için filmi bir iki kere geri sardığımı hatırlıyorum. Filmden sonra tabi hemen internetin başına geçtim ve Google217;da ilgimi çeken bu sahneyi aradım. Beklediğim gibi pek çok kişi bu sahnede geçen soru konusunda kafa yormuştu. Bazıları bunun bir uydurmaca olduğunu söylerken bazıları konuyu açıklamaya çalışıyordu.

Gelelim sorunun ne olduğuna: Bir yarışmada olduğunuzu düşünün. Önünüzde üç adet perde var. Perdelerden birisinin arkasında araba diğer ikisinin arkasında keçi var. Size bir perde seçme hakkı veriliyor. Seçiminizi yaptıktan sonra sunucu arkasında keçi olan perdelerden birisini açıyor ve size seçiminizi değiştirmek ister misiniz diye soruyor. İşte soru da tam olarak burada. Siz olsanız seçiminizi değiştirir miydiniz değiştirmez miydiniz?

Değiştirmezdim diyenlerdenseniz kazanma şansınızı önemli ölçüde azaltmış bulunuyorsunuz. Kulağa garip geliyor değil mi? Normal bir mantık yürütmeyle olaya yaklaşıldığında sunucu, arkasında keçi olan perdelerden birisini açtığında geriye iki perde kalıyor. Birisinde araba birisinde keçi var. Yani neyi seçerseniz seçin şansınız fifti fifti. Ama öyle deği. :) Mümkün olduğunca anlaşılabilir bir şekilde açıklamaya çalışayım.

Olaya bir çeşit strateji belirleyerek yaklaşabiliriz. Sunucu perdelerden birisini açıp size seçiminizi değiştirmek istiyor musunuz diye sorduğunda hep değiştirmekten yana seçim yapacağınızı düşünelim. Eğer ilk seçtiğiniz perdenin arkasında keçi varsa, sunucu diğer keçili perdeyi kaldırdığında ve size seçiminizi değiştirmek istiyor musunuz diye sorduğunda seçiminizi değiştirirseniz arabayı kazanırsınız. Eğer ilk seçtiğiniz perdenin arkasında araba varsa, sunucu arkasında keçi olan perdelerden birisini kaldırdığında ve sorduğunda seçiminizi değiştirirseniz arabayı kaybedersiniz. Şimdi ilk başa dönersek üç perdeden ikisinde keçi olduğuna göre bu strateji ile kazanma şansınız 2/3.

Şimdi bir de seçiminizi değiştirmemekten yana olan stratejiyi düşünelim. Eğer ilk seçtiğiniz perdenin arkasında keçi varsa ve sunucu diğer keçili perdeyi kaldırarak size sorduğunda seçiminizi değiştirmezseniz arabayı kaybedersiniz. Eğer ilk seçtiğiniz perdenin arkasında araba varsa ve sunucu arkasında keçi olan perdelerden birisini kaldırarak seçiminizi sorduğunda seçtiğiniz perdeyi değiştirmezseniz kazanırsınız. Yine başa dönerek istatistiklere baktığımızda önünüzde üç perde varken doğru perdeyi seçme şansınız 1/3. Keçili perdelerden birisini her seçtiğinizde (2/3 şans) mutlaka kaybediyorsunuz.

Sonuç olarak sunucu size sorduğunda ilk yaptığınız seçimi değiştirmeyi tercih ederseniz kazanma şansınızı tam olarak iki kat (1/3 yerine 2/3) artırmış oluyorsunuz! Garip değil mi? Aslında gözden kaçan şey sunucunun hangi perdenin arkasında keçi olduğunu biliyor ve size keçili perdelerden birisini açarak yardım ediyor olması. Eğer sunucu da perdelerin arkasında ne olduğunu bilmiyor olsaydı soru tamamen farklı bir hal alırdı.

“Let’s Make a Deal” isimli bir yarışmaya çok benzediği için yarışma sunucusunun ismiyle “Monty Hall problemi” olarak dünyada bilinen bu soruyu ilk kez Guines rekorlar kitabına dünyanın en zeki insanı olarak giren (228 IQ puanı – daha sonradan bunun bir ölçüm yöntemi hatası olduğu ortaya çıksa da kendisinin son derece zeki olduğu kesin) Marilyn vos Savant isimli bir bayan, gazetedeki köşesinde sormuş. Takip eden günlerde ülke çapında pek çok kişiden ve matematikçiden (!) hesap yapmayı bilmediğine kadar varan tepki dolu mektuplar birbirini izlemiş. Sonraki haftalarda Marilyn vos Savant teorisini daha ayrıntılı anlatmış ve olayın inceliğinin sunucunun perde açarken her zaman arkasına ödül olmayanı açmasının olasılığı değiştirdiğini belirtmiş. Problemin bilgisayar simülasyonunu yazan okuyucuların %97′si de aynı sonuca ulaşmış ve ilk başta şiddetle itiraz edenlerin büyük çoğunluğu fikrini değiştirmiş.

İstatistik böyle garipliklerle dolu ilk başta ne kadar mantığa ters görünse de üzerine biraz kafa yorulduğu zaman aslında ne kadar zarif ve basit bir güzelliğe sahip olduğu anlaşılabiliyor. Siz de böyle ilginç matematik problemleri biliyorsanız yorum bölümünde paylaşırsanız üzerinde tartışabiliriz.